1 intérêt simpleFormule
On dispose d’un capital " Vo " que l’on désire placer au taux d’intérêt " i " pendant " n " périodes (la durée du placement).
Chaque année on retire les intérêts " I " et on ne replace que le capital
-au bout de la première année on dispose de :
V1= Vo+ Voi= valeur acquise = Vo (1+i)
-au bout de la deuxième année Vo (1+2i)
-au bout de la Nième année Vn= Vo (1+ni)
I=Vo´ i´ n
Si au lieu de raisonner sur une année on raisonne en mois le taux sera i’=i/12 c.à.d. proportionnel
Plus généralement s’il y a k sous périodes dans l’année on aura i’ = i/k
Si la durée est exprimée en jours, il est d’usage en France de retenir pour ce type de calcul une année de 360 jours
I=Vo´ i´ n/360
Taux moyen de placement
Trois placements sont faits par une même personne aux conditions suivantes :
Capitaux : vo1 . vo2 . vo3
Taux : i1 . i2 . i3
durée :n1 . n2 .n3
Le taux moyen de placement serait le taux unique " i " qui appliqué aux capitaux respectifs et pour leurs durées respectives, conduirait au même intérêt total.
Vo1* i1* n1+ Vo2* i2* n2 +Vo3* i3* n3 = Vo1* i* n1+ Vo2* i* n2+ Vo* i* n3
donc pour k périodes :
i= å Vk´ ik´ nk / Vk´ nk
Ex si on place 9000f pendant 3 mois taux de 9% l’an et 12000f pendant 6 mois au taux de 11 % l’an, quel est le taux moyen de placement ? I= 10,45%
Dans quel cas on utilise l’intérêt simple ?
-Escompte
-Certains prêts étudiants.
2 Intérêts composésContrairement à l’intérêt simple on suppose dans un placement à intérêt composé, que les intérêts sont replacés au même taux que le capital initial et portent intérêt pendant toute la durée du placement restant à courir. Si on dispose d’un capital " Vo " que l’on désire placer au taux d’intérêt " i " pendant " n " périodes (la durée du placement).
Au bout d’un an on aura : V1= Vo+ Voi= valeur acquise= Vo (1+i)
de deux ans V2= V1(1+i)= Vo (1+i)2
Si on généralise on a Vn= Vo (1+i)n
pour trouver le total des intérêts i= Vo (1+i)n -Vo
Taux équivalents (cas ou l’on raisonne en mois, jours, semestre...)
Deux taux seront dits équivalents si appliqués pendant une même durée à un même capital, ils ont la même valeur acquise.
I= taux annuel et ik relatif à une période k fois plus faible
Vo (1+i)n= Vo(1+ ik)nk après simplification on a
ik= (1+i)1/k -1
Taux moyen (à utiliser lorsque l’on place à intérêt progressif)
Ex un capital de 150 000f est placé à intérêt progressif.
8% pendant les deux premières années, 9% les 3 suivantes et 11% les 4 dernières
Quelle est la valeur acquise en fin de 9ème année ? Réponse 343962
Quel est le taux moyen ? 9,66%
Exemple 1 : Placement sur plusieurs années La cession d'un point de vente vient de vous rapporter un capital de 850 000 F. Vous envisagez d'en ouvrir un autre mais l'emplacement ne sera disponible que dans 4 ans et 9 mois. Dans l'attente de la réalisation de ce projet, vous décidez de placer vos disponibilités. Deux propositions vous sont offertes,
1) à 8 % l'an avec capitalisation annuelle ;
2) à 1,95 % par trimestre avec capitalisation trimestrielle.
Travail à faire : Quelle solution choisissez-vous ?
Résolution exemple 1
Le principe La solution retenue sera celle qui permet d'obtenir le capital le plus important (ou les intérêts les plus élevés) à l'issue de la période de placement.
Examen de la proposition 1 Valeur acquise après 4 ans et 9 mois de placement soit 4,75 années :
C4,75 = 850 000 (1 + 0,08)4,75 = 1 225 128,8 F.
Les intérêts acquis seront de : 1 225 128,8 - 850 000 = 375 128,8 F.
Examen de la proposition 2 La valeur acquise après 4 ans et 9 mois de placement soit 19 trimestres :
C19 = 850 000 (1+0,0195)19 = 1 226 807,12 F.
Les intérêts acquis seront de : 1 226 807,12 - 850 000 = 376 807,12 F.
Conclusion La comparaison des valeurs acquises (ou des intérêts acquis) montre qu'il est plus avantageux de choisir la deuxième proposition
Exemple 2 : Etude d'une proposition de placement Monsieur AVEC dispose d'un capital de 200 000 F placé depuis 3 ans et 6 mois à 6 % l'an, avec capitalisation trimestrielle des intérêts. Son banquier lui présente une opportunité permettant de bénéficier d'un placement à 9 % l’an avec capitalisation mensuelle des intérêts si le placement dure au moins 5 ans.
Travail à faire : Intéressé par cette proposition, monsieur AVEC cherche à en comprendre les caractéristiques.
Résolution exemple 2 Etude du placement existant
Les données - le capital initial : 200 000 F ; - la durée de placement : 3 ans et 6 mois soit 14 trimestres ; - le taux de placement : 6 % l’an avec capitalisation trimestrielle.
Calcul du taux trimestriel équivalent à 6 % L’an :
200 000 (1 + i)4 = 200 000 (1 + 0,06)
(1 + i )4 = (1,06)
1 + i = (1,O6)1/ 4
i = 0,0146738 soit 1,46738 %.
Valeur acquise par le capital placé
200 000 (1,0146738)14 = 245 245,04 F ;
monsieur AVEC dispose d'un capital de 245 245,04 F.
Hypothèse d'une prolongation pendant 5 ans Nombre de périodes: 5 ans = 20 trimestres. Valeur acquise dans 5 ans 245245,04 (1,0146738)20= 328192, 89 ; si le placement actuel est prolongé pendant 5 ans, la valeur acquise sera alors de 328192,89 F.
Nouvelle proposition du banquier
Les données
- le capital initial : 245 245,04 F ;
- la durée de placement : 5 ans soit 60 mois ;
- le taux de placement : 9 % L’an avec capitalisation mensuelle.
Calcul du taux mensuel équivalent à 9 % L’an
245 245,04 (1 + i)12 = 245 245,04 (1 + 0,09)
(1 + i )12 = (1,09)
1 + i = (1,09)1/12 i = 0,0072073 soit 0,72073 %.
Valeur acquise par le capital placé 245 245,04 (1,0072073)60 = 377 339,36 ;
Monsieur AVEC disposerait d'un capital de 377 339,36 F.
Conclusion La nouvelle proposition lui procurerait un gain de 377 339,36 - 328 192, 89 = 49 146,46 F. Il est le signe d'un placement plus intéressant.
Remarque Le gain de 49 146,46 F présenté ci-dessus ne sera effectif que dans 5 ans. Si on retient un taux d'actualisation égal à 9 % L’an, sa valeur actuelle est : 49 146,46 (1 + 0,09)-5 = 31 941,83 F. Elle représente le capital qu'il faudrait placer actuellement et pendant 5 ans.
Ainsi la proposition de changement de mode de placement faite par le banquier est équivalente à un cadeau de 31 941,83 F.
Dim 4 Fév - 4:33